Sophomore’s Dream
Sophomore’s Dream 是一個「看起來很不合理但卻成立」的恆等式，把一個奇怪的積分和一個同樣奇怪的級數連在一起。
經典版本
\[\int_{0}^{1} x^{-x}\,dx \;=\; \sum_{n=1}^{\infty} n^{-n}.\]一般情況
對參數 $a$（在可交換級數與積分的收斂條件下，例如 $| a | \le 1$），有：
\[\int_{0}^{1} x^{a x}\,dx \;=\; \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-a)^n}{(n+1)^{n+1}}.\]$a=-1$
把 $a=-1$ 代回去，就得到上面的經典式：
\[\int_{0}^{1} x^{-x}\,dx =\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{(n+1)^{n+1}} =\sum_{m=1}^{\infty} m^{-m}.\]這個結果之所以有名，是因為左邊的 integrand $x^{-x}=e^{-x\ln x}$ 不像能積出漂亮的值，而右邊 $\sum n^{-n}$ 也不是常見的特殊函數級數；但兩者竟然精確相等，因此被戲稱為「Sophomore’s dream」。