Freshman's Dream
Freshman’s dream 指一個常見的初學者直覺：將冪次「錯誤地」分配到加法上，誤以為
\[(a+b)^n = a^n + b^n\]在一般的整數／實數運算中，這個等式多半不成立，因此被戲稱為「Freshman’s dream」。
一般情況
一般情況下不成立的原因，因為二項式定理給出
\[(a+b)^n=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}a^{\,n-k}b^k\]展開式除了兩端的 $a^n$ 與 $b^n$ 之外，還包含許多交叉項，因此通常無法簡化為 $a^n+b^n$。
以 $n=2$ 為例
\[(a+b)^2=a^2+2ab+b^2\neq a^2+b^2\]其中 $2ab$ 即為造成不相等的交叉項。
模質數 $\bmod p$ 的情況
令 $p$ 為質數。在模 $p$ 的運算中，有
\[(a+b)^p \equiv a^p + b^p \pmod p\]此結論來自二項式係數的整除性。對於 $1\le k\le p-1$，
\[\binom{p}{k}\equiv 0 \pmod p\]因此二項式展開中的所有中間項係數都被 $p$ 整除，在模 $p$ 下等同消失。
由二項式定理，
\[(a+b)^p =\sum_{k=0}^{p}\binom{p}{k}a^{\,p-k}b^k \equiv a^p+b^p \pmod p\]以模 $5$ 為例
\[(a+b)^5 = a^5+5a^4b+10a^3b^2+10a^2b^3+5ab^4+b^5 \equiv a^5+b^5 \pmod 5\]特徵為 $p$ 的環／域的情況
設 $R$ 為一個特徵為 $p$ 的交換環（或域），即
\[p\cdot 1_R = 0\]此時二項式定理同樣成立，且對 $1\le k\le p-1$ 的二項式係數在 $R$ 中為零：
\[\binom{p}{k}\cdot 1_R = 0\]因此展開式的中間項全部消失，得到等式（不再只是同餘）：
\[(a+b)^p = a^p + b^p \qquad \text{於 } R \text{ 中成立}\]Frobenius 映射
在特徵為 $p$ 的環／域中，映射
\[\varphi(x)=x^p\]滿足
\[\varphi(a+b)=\varphi(a)+\varphi(b),\qquad \varphi(ab)=\varphi(a)\varphi(b)\]因此 $\varphi$ 是一個環同態，稱為 Frobenius 同態。在特徵為 $p$ 的環／域裡，Freshman’s dream 的成立可視為 Frobenius 同態對加法相容性的直接表現。
推廣到 $p^m$ 次方
在特徵為 $p$ 的情況下，對任意整數 $m\ge 1$ 亦成立：
\[(a+b)^{p^m}=a^{p^m}+b^{p^m}\]此結論可由反覆套用 $(x+y)^p=x^p+y^p$ 或以歸納法得到。