Sophie-Germain Prime Density Conjecture
Sophie-Germain prime 是指一個質數 $p$，滿足 $2p+1$ 也是質數。若以 $\pi_{SG}(x)$ 表示不超過 $x$ 的 Sophie-Germain primes 的個數，則其密度猜想預測，當 $x\to\infty$ 時， \(\pi_{SG}(x)\sim 2C_2\frac{x}{(\log x)^2},\) 其中 \(C_2=\prod_{p>2}\frac{p(p-2)}{(p-1)^2}\) 為 twin prime constant。這表示 Sophie-Germain primes 被預期具有與 twin primes 類似的漸近分布規律，其數量約為 $\dfrac{x}{(\log x)^2}$ 的等級，而常數因子則由上述乘積給出。這個猜想可視為 Hardy–Littlewood 型質數分布預測在 $p$ 與 $2p+1$ 同時為質數這種情形下的具體表現。
Sophie-Germain Prime Density Conjecture
The number of primes $q \le m$ such that $2q + 1$ is also a prime is asymptotically $\dfrac{2C_2 m}{\ln^2 m}$ where $C_2$ is the twin prime constant (estimated to be approximately $0.66$). Primes $q$ with this property are called Sophie-Germain primes.