Safe and Sophie Germain Primes
Definition
若 $q$ 為質數且 $p=2q+1$ 也同樣是質數，則稱 $q$ 為 Sophie Germain prime，而對應的 $p=2q+1$ 稱為 safe prime。
反之，若 $p$ 為 safe prime，則必存在質數 $q$ 使得 $p=2q+1$，且此 $q$ 可由
\[q=\frac{p-1}{2}\]唯一決定。因此，$q$ 是 Sophie Germain prime 當且僅當 $p=2q+1$ 是 safe prime。
OEIS
- A005384: Sophie Germain primes $q$: $2q+1$ is also prime.
- Sophie Germain 質數 $q$：$2q+1$ 也為質數
A005384 展開
2, 3, 5, 11, 23, 29, 41, 53, 83, 89, 113, 131, 173, 179, 191, 233, 239, 251, 281, 293, 359, 419, 431, 443, 491, 509, 593, 641, 653, 659, 683, 719, 743, 761, 809, 911, 953, 1013, 1019, 1031, 1049, 1103, 1223, 1229, 1289, 1409, 1439, 1451, 1481, 1499, 1511, 1559 - A005385: Safe primes $p$: $\dfrac{p-1}{2}$ is also prime.
- Safe 質數 $p$：$\dfrac{p-1}{2}$ 也為質數（等價地，存在質數 $q$ 使 $p=2q+1$）
A005385 展開
5, 7, 11, 23, 47, 59, 83, 107, 167, 179, 227, 263, 347, 359, 383, 467, 479, 503, 563, 587, 719, 839, 863, 887, 983, 1019, 1187, 1283, 1307, 1319, 1367, 1439, 1487, 1523, 1619, 1823, 1907, 2027, 2039, 2063, 2099, 2207, 2447, 2459, 2579, 2819, 2879, 2903, 2963
Examples
| $q$（Sophie Germain） | $p=2q+1$（Safe） |
|---|---|
| 2 | 5 |
| 3 | 7 |
| 5 | 11 |
| 11 | 23 |
| 23 | 47 |
| 29 | 59 |
Conjecture
Sophie Germain Prime Conjecture 主張：存在無限多 Sophie Germain 質數 $q$。由於每個 Sophie Germain 質數 $q$ 都對應到一個 safe prime $p=2q+1$（反之亦然），因此此猜想等價於：存在無限多 safe primes $p$ 使得 $p=2q+1$。目前此猜想仍未被證明或否證，屬於數論中的公開問題。
The Sophie Germain prime conjecture states that there are infinitely many primes $q$ such that $2q+1$ is also prime. This conjecture remains unproven.