OpenAI Math Announcements

發表於 2026-10-22 更新於 2026-10-22

本文按時間整理 OpenAI 在 2026 年 5 月至 10 月的主要數學成果公告，並補充研究工具、顧問團體與成果公開方式的背景。5 月公布 unit-distance 猜想的反例，10 月 6 日則集中釋出 openai/math 的數學成果。

2026-05-20 單位距離猜想

An OpenAI model has disproved a central conjecture in discrete geometry 原文

OpenAI 宣布內部模型推翻平面 unit distance problem 中的 Erdős 猜想，即單位距離點對數的最大值滿足 $u(n)=n^{1+o(1)}$。

Problem

Planar unit distance problem If you place $n$ points in the plane, how many pairs of points can be exactly distance $1$ apart? Write $u(n)$ for the maximum.

Erdős 在 1946 年提出這個問題。方格點構造給出 $u(n)\ge n^{1+c/\log\log n}$，其中 $c>0$ 為常數；已知最佳上界是 $u(n)=O(n^{4/3})$（Spencer–Szemerédi–Trotter）。Erdős 猜想 $u(n)=n^{1+o(1)}$，也就是其成長速度低於任何固定次方 $n^{1+\varepsilon}$（$\varepsilon>0$）。

公告內容

  • 模型構造出一族反例：存在固定常數 $\delta>0$，使得無限多個 $n$ 滿足 $u(n)\ge n^{1+\delta}$。這與 $u(n)=n^{1+o(1)}$ 相矛盾，並在原有方格構造的下界上取得 polynomial 量級的改進。
  • 證明由一組外部數學家檢查；他們另撰 Remarks on the disproof of the unit distance conjecture，說明論證與意義。
  • 證明來自一個新的 general-purpose reasoning model。OpenAI 說明它不是專為數學訓練的模型，沒有針對證明策略搜尋做 scaffolding，也不是針對這個問題設計。

2026-07 Cycle double cover

A Proof of the Cycle Double Cover Conjecture 原文

openai/cdc-lean repo

8 commits · last commit 2026-07-09

OpenAI 發表 cycle double cover conjecture 的證明。這個猜想由 Tutte、Itai 與 Rodeh、Szekeres、Seymour 先後提出，長期懸而未決。這次發表的形式是一篇三頁的論文加上 Lean 形式化，不是部落格文章。

日期註記. 公開時間為 2026 年 7 月，確切日期尚待確認（日期依據）。

Statement

Cycle double cover A cycle double cover of a graph is a multiset of cycles in which every edge occurs exactly twice.
Theorem 1.1 Every finite bridgeless undirected graph has a cycle double cover.

圖允許平行邊，兩條平行邊視為一個 cycle。

證明概要

  • 先化約到 loopless cubic graphs（Jaeger）。
  • 由 8-flow theorem（Kilpatrick、Jaeger）與 Tutte 的 group-flow theorem，每個 bridgeless graph 都有 nowhere-zero $\Gamma=\mathbb{F}_2^3$-flow。
  • 關鍵的化約是下面的引理，它是 proper 3-edge-colouring 的放寬版本。
Lemma 2.1 Let $G$ be a loopless cubic multigraph. Suppose that every edge $e$ is assigned a two-element set $P_e\subseteq\Gamma$ such that, for every $v\in V(G)$ and $s\in\Gamma$, $\#\{e\ni v: s\in P_e\}\in\{0,2\}$. Then $G$ has a cycle double cover.
  • 要構造這些 $P_e$，等價於解一個 $\mathbb{F}_2$ 上的線性方程組。證明用對偶性說明方程組必有解，是一個初等的線性代數論證。

產生方式

論文中的 statement of AI use：

The proof in this note is entirely due to GPT 5.6 Sol Ultra and the writeup with Codex (with GPT 5.6 Sol).

OpenAI 另外公開了給模型的完整 prompt。Prompt 要求完整解決這個猜想，不接受部分進展，指示以多個 agents 搜尋（最多 64 個並行），並至少花 8 小時才可返回。

驗證

  • openai/cdc-lean 以 Lean 對有限、無 loop、無 bridge 的 multigraph 做 kernel check，終點是 CDCLean.cycleDoubleCover_of_bridgeless，其中也形式化了 Jaeger–Kilpatrick 的 eight-flow theorem。CDCLean/Audit.lean 的審計應只列出 propext、Classical.choice 與 Quot.sound。
  • Jim Geelen（arXiv:2607.15399，7 月 16 日）與 Sang-il Oum（arXiv:2607.16356，7 月 17 日）各自寫了說明。Johannes Carmesin 在 Matroid Union 的文章中表示證明正確，並提到除了 OpenAI 的版本，還有獨立的 Lean 形式化。

2026-07-29 學術研究支援

Accelerating scientific discovery with ChatGPT for Academic Researchers 原文

OpenAI 讓學術研究者使用 frontier models，並指出數學研究已快速成為 AI 的重要應用場景。這篇偏向研究生態與部署，不是單一成果的發布。

計畫內容

  • 對象是選定學術機構的研究者，涵蓋科學、數學與工程，用途從 grant preparation 到 hypothesis testing。
  • 首批 10,000 人，機構包括 Institute for Advanced Study 與 École normale supérieure；計畫持續擴展，於 2027 年內達到 100,000 人。
  • 起始提供 GPT-5.6 Sol Pro。每位參與者可以邀請最多四位同機構的合作者。
  • 資料預設不用於訓練模型。

8 月 10 日更新

新申請者改為進入 waitlist。首輪有超過 13,000 份申請在審核，首批 10,000 個名額從符合資格的申請者中抽籤決定。未被選上的申請者，在秋季重新開放申請時仍可被選入。官方更新

2026-08-01 十項數學進展

Ten advances in mathematics and theoretical computer science 原文

openai/ten-proofs repo

1 commit · last commit 2026-08-02

OpenAI 一次公布 10 項數學與理論資工成果，每項都解決或大幅推進一個 long-standing open problem。結果來自 Astra 的一個內部版本，OpenAI 當時稱 Astra 為下一個主要模型，尚未釋出。這是 10 月 openai/math 大規模公開之前的一次集中發布。

The results

Topic Result Lean file
High-dimensional sphere packing Improved asymptotic upper bounds on sphere-packing density, reaching the Cohn–Elkies threshold. SpherePacking.lean
Binary and spherical codes Exponentially stronger upper bounds for binary codes at every minimum distance, together with corresponding bounds for spherical codes. MetricCodes.lean
Non-sofic groups A construction of a non-sofic group, resolving whether every group admits finite permutation approximations. NonSoficGroup.lean
Connes’s rigidity conjecture A counterexample to the conjecture that certain groups are determined by their group von Neumann algebras. ConnesRigidity.lean
Arithmetic circuit complexity New lower bounds for computing the permanent with arithmetic circuits and formulas, including an $n^4 / \log n$ formula lower bound. Permanent.lean
Quantum parallel repetition Exponential parallel repetition for arbitrary finite, two-player quantum games. QuantumParallelRepetition.lean
Closest vector problem Polynomial-factor hardness of approximation for the closest vector problem, with related consequences for decoding and lattice problems. GapCVP.lean
Ehrhart’s volume conjecture The sharp maximum volume in every dimension for a convex body whose centroid is its only interior lattice point. EhrhartVolumeInequality.lean
Multicolor Ramsey numbers A superexponential lower bound for multicolor triangle Ramsey numbers, resolving Erdős problem 183. MulticolorTriangleRamsey.lean
Extremal number conjectures Counterexamples to the compactness and degeneracy conjectures in extremal graph theory, resolving Erdős problems 146 and 180. CompactnessAndDegeneracy.lean

驗證與成本

  • 每項結果都附 Lean 證明，收錄於 openai/ten-proofs，每項一個 .lean 檔，lake build All 可一次編譯全部。
  • 另外公布論文與模型推理過程的 walkthroughs。
  • 數學論證由模型產生，人類與同一個模型合作，把論證整理成手稿。
  • OpenAI 估計，以 Sol API 價格計，找出這十個解的 token 成本約 2,000 美元，不含訓練成本。

2026-09-03 質數間隔

GPT-6 Astra: A new generation of intelligence 原文

這是 GPT-6 Astra 的發表，不是數學專文。發表同時公布兩篇質數間隔的論文，證明都歸給 GPT 6 Astra，各有一個 Lean repo。以下只整理數學的部分。

Short gaps

Improved Short Gaps Between Primes 論文

openai/PrimeGaps186 repo

1 commit · last commit 2026-09-02

Admissible tuples and DHL A set of distinct integers is admissible if it omits a residue class modulo every prime. Write $\mathrm{DHL}[k,j]$ for the assertion that every admissible $k$-tuple has infinitely many translates containing at least $j$ primes. Write $H_m:=\liminf_{n\to\infty}(p_{n+m}-p_n)$, where $p_n$ is the $n$th prime.
Theorem 1.1 The assertion $\mathrm{DHL}[40,2]$ holds.
Corollary 1.2 We have $H_1\le 186$.
  • 結果為 $\liminf_{n\to\infty}(p_{n+1}-p_n)\le 186$。取一個直徑為 186、含 40 個元素的 admissible set，由 Theorem 1.1 可得無限多個平移各含至少兩個質數，因此 $H_1\le 186$，即 Corollary 1.2。孿生質數猜想是 $H_1=2$，仍未解決。
  • 先前的 unconditional 紀錄是 Polymath 8b 的 $H_1\le 246$。同時期 Stadlmann 獨立證明了 $H_1\le 240$。
  • 方法：結合 Polymath 8a 與 Stadlmann 的 equidistribution estimates，再用互補的 factorization conditions，使相關的乘積成為 triply densely divisible。這讓 multidimensional Selberg sieve 可以用更大的 support，配合更好的數值最佳化，得到 $\mathrm{DHL}[40,2]$。
  • Lean 形式化是 conditional：依賴數值的 integral 與 cap bounds，以及最終來自 Deligne 的有限體 Riemann hypothesis 結果的 finite-field exponential-sum estimates，共三條明列的 axiom。repo 另附 Python-FLINT 程式，驗證其中的數值界。

Long gaps

Improved Long Gaps Between Primes 論文

openai/LongGapsBetweenPrimes repo

2 commits · last commit 2026-09-03

Largest prime gap Let $p_n$ denote the $n$th prime and let $G(X)=\max_{p_{n+1}\le X}(p_{n+1}-p_n)$. Write $\log_j$ for the $j$-fold iterated logarithm.
Theorem 1.1 There is an absolute constant $c>0$ such that, for all sufficiently large $X$, $$G(X)\ge c\,\frac{\log X\,(\log_2 X)^2\log_4 X}{(\log_3 X)^2}.$$
  • 這比 Rankin 的界 $G(X)\gg \log X\log_2 X\log_4 X/(\log_3 X)^2$ 多了 $\log_2 X$ 的因子。
  • 歷史進展：Westzynthius、Erdős、Rankin 依序推進；Erdős 問 Rankin 界的常數能否任意大，並為此開出 10,000 美元的獎金，Maynard 與 Ford–Green–Konyagin–Tao 各自獨立證明；之後 Ford–Green–Konyagin–Maynard–Tao 給出定量的界；GPT 5.6 Sol 在 Erdős Problems 網站（Problem #4）上貼出的論證給出更強的界。上述 Theorem 1.1 再往前推進。
  • 證明的主要輸入是 Proposition 1.2（short translates），再套用 Erdős–Rankin 的構造。
  • repo 含有 Theorem 1.1 的完整 Lean 證明 LongGapsBetweenPrimes.lean，沒有標示為 conditional。

2026-09-06 研究加速

Research acceleration: The view inside OpenAI 原文

OpenAI 說明內部研究如何被 automated AI researcher 與 coding agents 加速。內容不限於數學，但可作為之後數學成果大量出現的背景。

目標與進度

  • 2025 年秋季，OpenAI 公開的目標是：2026 年 9 月前做出 automated research intern，2028 年 3 月前做出 automated AI researcher。
  • Research intern 的定義是：在人類指導下，執行定義明確的研究任務，包括熟練研究者需要數天才能完成的任務。
  • 依 OpenAI 的量測，intern 的目標已經達成。以 8 小時為一個標準工作日，研究組織在 8 月中旬的總 agent 執行時間相當於每一個人類工作日對應約 3.1 個 agent 工作日。官方量測
  • OpenAI 表示正朝 2028 年 3 月的 automated AI researcher 穩定推進。

限制

OpenAI 指出，AI 研究是有許多瓶頸的複雜過程，整體進展不一定跟上這些指標。研究優先序、要追哪些想法與結果，以及是否擴大、暫停或部署系統，仍由人決定。

2026-09-08 Navier–Stokes 與 Euler

On the Navier–Stokes Millennium Prize Problem 原文

openai/NavierStokesAndEuler repo

2 commits · last commit 2026-09-10

OpenAI 宣布內部模型提出三維 Navier–Stokes 方程的證明，其論文主張流體運動可以在有限時間內產生 singularity，並同時公開證明的 writeup 與 Lean formalization。

宣稱的內容

Navier–Stokes For every positive viscosity, we prove two results:
  • Whole space $\mathbb{R}^3$: There exist smooth initial data and forcing for which no global smooth solution with uniformly bounded kinetic energy exists.
  • Periodic torus $\mathbb{R}^3/\mathbb{Z}^3$: There exist smooth periodic initial data and forcing for which no global smooth solution exists.

OpenAI 主張，這兩個結果證明有光滑外力時可發生有限時間 breakdown，分別對應 Clay 問題陳述中的 (C) 與 (D)。

Remark. Clay 的官方問題有四個版本：(A)、(B) 是無外力時，$\mathbb{R}^3$ 與週期情形下光滑解的全域存在性；(C)、(D) 是有外力時，對應情形下解的 breakdown。證明其中任一個即可。有外力的版本屬於問題本身，不是對原問題的弱化。
Remark. Lean 檢查的是形式化之後的陳述。形式化的陳述是否忠實對應 Clay 問題，需要另外對照。

Euler 方程

openai/NavierStokesAndEuler 另外收錄第二篇論文 Finite time blowup for the Euler equation 的 Lean formalization。

Euler We construct smooth, compactly supported, divergence-free initial velocity on $\mathbb{R}^3$ whose solution to the unforced incompressible Euler equations develops a singularity in finite time. The velocity's $C^1$ norm becomes unbounded near that time, and the time integral of the vorticity's $L^\infty$ norm diverges.

驗證

  • 兩篇論文的結果都以 Lean 4 形式化，用 Lake 與 Mathlib 編譯。
  • 獨立檢查可用 Comparator，說明在 repo 的 ComparatorChallenges/README.md。

2026-09-21 數學與 AI 顧問團體

Advisory Group on Mathematics and Artificial Intelligence 原文

OpenAI 表示 8 月 28 日開始訓練一個新的內部模型。除了 Navier–Stokes，這個模型已經解決 100 多個 long-standing open problems，涵蓋數學的大多數領域，進展速度連 OpenAI 內部的數學家都感到意外。公告沒有列出問題清單。

顧問團體

Advisory Group on Mathematics and Artificial Intelligence 由 Institute for Advanced Study 主辦，有九位成員：

  • François Charles（ENS-PSL）
  • Camillo De Lellis（IAS、GSSI）
  • Timothy Gowers（Collège de France、Cambridge）
  • Martin Hairer（EPFL、Imperial College London）
  • Nikhil Srivastava（Berkeley、Simons Institute）
  • Ulrike Tillmann（Oxford）
  • Ravi Vakil（Stanford）
  • Edward Witten（IAS）
  • Melanie Matchett Wood（Harvard）

職責與限制

  • 職責是諮詢性質：評估新結果的重要性、就成果如何公開與學術規範提供建議。第一項工作是協助 OpenAI 公開這 100 多項結果。
  • 成員不領酬勞，團體獨立於任何 AI 公司運作，對任何 AI 公司都沒有決策權。
  • 團體的起點是 OpenAI 接洽部分成員，想成立外部顧問委員會；成員決定改成獨立團體，再邀請其他人加入。
  • 團體不負責就 OpenAI 內部數學研究的推進速度提供建議。

這項公告出現在 9 月稍早 25 位 Fields 獎得主聯署公開信之後。公開信的論點是，AI 公司競相解決著名問題，威脅了數學家的智識工作。

2026-10-06 數學成果公開

Sharing AI progress in mathematics 原文

openai/math repo

5 commits · last commit 2026-10-12

OpenAI 正式大規模釋出 openai/math，內容是內部模型產生的數學手稿與支持證明的材料。OpenAI 說明，模型在既有數學評測飽和之後，改在 open research problems 上評測，這些成果即來自這些評測。其中第 109 項的後續整理見 CrocSwap integer-mult-bounds。

釋出內容

  • 截至 2026 年 10 月 22 日，目錄統計為 719 份 manuscripts，分為 372 個 families。一個 family 把相關論文放在一起，可能包含主要結果、輔助論證、推論或替代證明。每個 family 依數學領域分類。目錄統計
  • 目錄有 overview PDF、manuscript map（CONTENTS.md）、preprints/（PDF、原始檔與引用、編譯說明）、Lean library 與 formalization catalogue，以及更新歷史。
  • 授權為 Apache-2.0。

驗證狀態

  • 部分結果已有 Lean formalization，其餘會在取得後陸續補上；截至 10 月 7 日的比例見下方更新。
  • 沒有 formalization 的結果可能有問題，OpenAI 表示會盡快修正。
  • 另提供 Comparator 的檢查說明。

產生方式

  • 絕大多數結果用同一套流程，由尚未釋出的內部模型產生。平均每項結果使用三小時的 ChatGPT Pro thinking compute。
  • 評測期間模型被問了約 4,000 個問題，整理成 families 與 manuscripts，並要求達到一定的重要性，得到上述 catalog。
  • 例外是 a zero-free region for the Riemann zeta function，以及 the Hodge Conjecture for CM abelian varieties 的證明。其中 $\operatorname{Re}(s)>11/12$ 的 zero-free region 的 writeup 經人工編輯，以提升可讀性。

Reasoning summaries

另外釋出十個 families 的 abridged reasoning summaries：

Family Subject
007 Ordinary two-point correlations of multiplicative functions
017 The irrationality exponent of $\pi$
087 Symmetric and general Mahler conjectures
102 Ordinary NP-hardness at the basic semidefinite threshold
159 Quasipolynomial bounds for arithmetic progressions
197 Kaplansky’s direct-finiteness conjecture in characteristic two
221 The Mézard–Parisi formula for diluted spin glasses
271 Spontaneous magnetization in the quantum Heisenberg ferromagnet
287 Isomorphism of free group factors
362 The three-dimensional relativistic Vlasov–Maxwell system

公開方式

  • OpenAI 諮詢了 Institute for Advanced Study 的 Advisory Group，以擬定公開這些成果的 best practices。
  • 修正與修訂以新版本發布，舊版本保持可取得；每份手稿附 BibTeX。
  • 目前以 GitHub repository 發布，同時評估符合顧問團體準則的社群代管方案。
  • OpenAI 將持續更新公開重大科學進展的標準。
  • 產生這些成果的模型尚未釋出，OpenAI 表示正在研究如何負責任地釋出。

10 月 7 日更新

這次更新包含撤回、修訂與新增形式化。更新紀錄

Algebraicity of Weil classes on split abelian eightfolds 的符號錯誤使 stabilization-trace cancellation 論證失效，也影響兩篇相依手稿使用的構造，因此撤回三篇：

  • Algebraicity of Weil classes on split abelian eightfolds
  • Algebraicity of Kuga–Satake Correspondences for K3 Surfaces
  • The rational Hodge conjecture for products of K3 surfaces

另有 14 篇手稿修訂證明、陳述、假設、相依結果或引用；13 篇其他手稿則更新對修訂版本的引用與版本日期。撤回的手稿保留問題說明與封存版本，修訂的手稿也保留舊版。

新增 6 項形式化及 5 項支援結果的補充後，官方統計有 300 個主要結果（top-line results）完成形式化，以目錄的 719 份手稿為分母，比例為 $300/719\approx 42\%$。

10 月 15 日更新

OpenAI 宣布提供 500 萬美元，支持 Simons Foundation 的新計畫，協助數學家檢查、理解並延伸 AI 產生的成果。資金由 Simons Foundation 管理與分配，用於 workshops、conferences 與 special programs；OpenAI 也將向該基金會支持的研究者提供模型與運算資源。官方更新

References

OpenAI announcements

Papers

Repositories

Cycle double cover

Advisory group

Coverage

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